Intervalo de Confianza para la Proporción de una Población

El intervalo de Confianza para una proporción poblacional, que es una parte o fracción de una población, es un intervalo o escala de valores que, con base en una probabilidad, puede contener otra proporción poblacional, pero que esta posea un nivel de confianza en el efecto esperado o en la consecuencia que se está buscando generar.

Es decir, que se busca crear un intervalo, basado en una probabilidad, que permita conocer con cierta seguridad entre qué valores se encuentra un efecto esperado.

Para comprender mejor esto, utilizaremos un ejemplo explicativo, y un ejercicio basado en el área de la ingeniería.

Supongamos que hay una empresa, la cual posee más de mil trabajadores, y el jefe requiere saber cuando sería mejor darles vacaciones, si en agosto o en diciembre. Entonces, debido a que hacerles la pregunta a mil trabajadores sería muy complicado, se elige una muestra de la población, que sea aleatoria para no conocer con exactitud la elección de cada uno.

Población completa

Sabiendo esto, se tendría una incertidumbre al no saber con certeza cuántos de los trabajadores tomados en la muestra van a apoyar una de las dos opciones, agosto o diciembre, para sus vacaciones. Entonces, para conocer y contener dicha incertidumbre, se debe crear un intervalo de confianza, para que nos de una escala de valores donde se encontrará, con seguridad, el valor buscado.

La fórmula que se debe utilizar para hallar el intervalo de confianza, para una proporción poblacional, es similar a la fórmula de la Media Poblacional, pero lo fundamental de ambas es que están basadas en el Teorema Central del Límite, el cual es una teoría estadística que establece que, dada una muestra aleatoria muy grande de una población, la distribución de las medias muestrales seguirá una distribución normal.

Entonces, la fórmula es la siguiente:

FÓRMULA:

Donde,

• P es la proporción de la muestra, y se calcula con el cociente entre la variable aleatoria X, que sigue una Distribución de Probabilidad normal (y que será la cantidad de aciertos o el valor buscado), y n, es decir:

• n es el Tamaño de la Muestra o número de ensayos posibles.
• z es el Valor de Confianza o Valor Elegido. Este valor dependerá del nivel o grado de confianza que se desee, y existe una forma de calcularlo, pero como dicho valor es una constante, se puede utilizar la siguiente tabla de Valores de Confianza populares, esta es:

Pero, con el valor de z hay que tomar en cuenta cierto aspecto; debido a que dicho valor aumenta según el porcentaje elegido o nivel de confianza, al calcular la fórmula para obtener el intervalo de confianza se hallarán valores amplios, es decir, que la escala será más amplia. Pero, si se eligen niveles de confianza bajos, dicha escala será menos amplia o extensa, por lo que, si se quiere un intervalo con mayor precisión, se deberá tomar un nivel de confianza bajo.

EJERCICIO:

Los estudiantes de Ingeniería de Sistemas de la UNEFA, buscan crear un programa que permita estudiar los trastornos de memoria en los estudiantes de dicha institución, solo haciendo una pregunta, que pueden contestar de forma positiva, es decir, con un “Si”. Pero, tomando en cuenta que también pueden contestar negativamente con un “No”, se presenta un problema, ya que en la Universidad habitan más de mil estudiantes, por lo que es prácticamente imposible ejecutar la encuesta. Entonces, ¿Cómo pueden saber cuántos estudiantes responden “Si” a la pregunta?

 

Solución:

Para esto utilizamos un Intervalo de Confianza que, como se mencionó anteriormente, sirve para conocer a partir de una pequeña porción de la población, un intervalo de valores confiables y seguros, que nos digan entre qué porcentajes (valores) está la cantidad de estudiantes que contestan positivamente la pregunta.

Entonces, tomando una muestra de la población, de 100 estudiantes a los cuales, si se les pudo hacer la pregunta, obteniendo que 60 de estos contestaron positivamente, y tomando un 95% de nivel de confianza (la seguridad sobre el intervalo que obtendremos), tenemos que:

Ahora bien, una vez que tenemos los datos para el tamaño de la muestra (n), la probabilidad o proporción de la muestra (p) y el nivel de confianza (z), procedemos a calcular el intervalo de confianza con la fórmula antes dada, de esta manera:

1) Sustituimos los valores:

2) Por ley matemática, calculamos primero la multiplicación de z con los valores que están a su derecha:

3) Luego calculamos las operaciones faltantes en ambos lados del intervalo, obteniendo así nuestros valores buscados:

Conclusión:

Entonces, en conclusión, existe un 95% de probabilidad, de que el intervalo [0,50 , 0,69] obtenido contiene a la porción o proporción de la población que contestaron positivamente a la pregunta.

En otras palabras, existe un 95% de confianza o seguridad, en que entre el 50% y el 69% de la población completa, están los estudiantes que contestaron con un “Si” a la pregunta. Por ejemplo, teniendo este intervalo podríamos decir que existe un 95% de probabilidad de que el 70% de los estudiantes dijeron “Si” a la pregunta. Esto nos sirve para obtener una aproximación a un dato, basada en probabilidad, cuando la población es muy grande.

Autor:

Jorge Briceño, C.I. 28.387.754