Intervalo de Confianza para la Media de Poblaciones

 

Intervalo de Confianza

     Se entiende como Intervalo de Confianza a aquella técnica de estimación que se utiliza en una interferencia estadística. Consiste en uno o varios pares de números, es decir, un rango de valores donde se estima entre ellos que se encontrará cierto valor desconocido respecto a un parámetro poblacional, con un determinado nivel de confianza.

    El intervalo de confianza como estimación tiene como propósito la determinación de dos valores: θ∗1 y θ∗2 luego ver verificar que los mismos cumplan θ∗1 < θ∗2 de modo que al constituirse el intervalo (θ∗1, θ∗2) contengan el valor del parámetro que se desea estimar con una probabilidad prefijada. De forma gráfica se representa de la siguiente manera:

 

 Dónde:

 

1–α: denominado Coeficiente de Confianza o Nivel de Confianza, consiste en la probabilidad de que el intervalo contenga el verdadero valor del parámetro poblacional θ.

α: denominado como “Riesgo del error del intervalo”, “Nivel del error del intervalo” o “Nivel de significación del intervalo” se trata de un valor comprendido entre 0 y 1, 0 <α <1, (usualmente próximo a 0), que indica el riesgo de que el intervalo de confianza no contenga el valor del parámetro poblacional a estimar, θ.

θ∗1 y θ∗2: Son los valores que delimitan el intervalo de confianza y reciben el nombre de límite superior y límite inferior del intervalo, respectivamente. La diferencia entre el límite superior y el límite inferior de un intervalo, θ∗2–θ∗1 se conoce como amplitud del intervalo.

 

     Ahora bien, el intervalo de confianza se presenta de dos formas:

 

• Para la Media de una población con Varianza conocida
• Para la Media de una población con Varianza desconocida

 

    Previo a conocer los aspectos de estas dos formas es conveniente comprender que por Varianza de la población (σ ²) se entiende a aquella que nos dice cómo de distribuyen los datos en una población determinada, es decir, se trata del promedio de las distancias de cada uno de los puntos de datos en la población a la media, al cuadrado.

 

 Intervalo de Confianza para la media de una población con Varianza Conocida

     Al hablar de esta forma del intervalo de confianza, en el que se conoce su varianza en toda la población es el intervalo menos usual. Para estimar la media poblacional μ de una población Normal de media μ (desconocida) y de varianza σ² (conocida), lo que se expresa de la siguiente manera N(μ,σ2). Se realiza que se muestra a continuación; X1,X2,⋯,Xnse selecciona una muestra aleatoria X1, X2, ⋯, Xn; de tamaño n de los valores de una variable aleatoria de esta población y se calcula su media muestral, como mejor estimador puntual de μμ. La construcción del intervalo de confianza se hace tomando como base este estimador.  Para desarrollar el cálculo del intervalo de confianza, se parte de la variable aleatoria, expresada de la siguiente forma:

Dicha variable sigue una distribución normal de media 0 y desviación típica de 1, se buscan los cuantiles de esta distribución mediante la siguiente expresión.

O la que resulta equivalente a ella:

    Finalmente, el cálculo del Intervalo de confianza con varianza conocida que se debe calcular es el siguiente:

Intervalo de confianza para la media en una población normal con varianza desconocida

    En el caso del cálculo del intervalo de confianza en el que la varianza poblacional de la variable de interés es desconocida, el objetivo permanece siendo el mismo, el cálculo de un intervalo de confianza para la media de dicha variable. Supongamos una muestra aleatoria  X1, X2, ⋯, Xn; de tamaño n de valores de la variable aleatoria que sigue una distribución Normal de media μ y de varianza σ ², ambas desconocidas. Para calcular un intervalo de confianza, en este caso, se parte de la variable aleatoria:

 

 

    Dónde, s hace referencia a la cuasidesviación típica muestral. Luego, se debe buscar dos valores de esta distribución tales que:

 

   

     Que operando queda de la siguiente manera:

 Finalmente, el cálculo del Intervalo de confianza con varianza desconocida que se debe calcular es el siguiente:

 

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Ejemplo aplicado al área de la Ingeniería

    Supongamos que X representa la duración de una pieza de un equipo electrónico y que un Ingeniero experto en el área probó 100 de esas piezas dando una duración promedio de 501.2 h. Se sabe que la varianza es de σ= 4h. se desea tener un intervalo del 95% de confianza para la esperanza poblacional o media E(X)= μ.

 

Respuesta:

No conocemos cuál es la distribución de X, pero tenemos el tamaño de la muestra que es de 100 por lo tanto el intervalo buscado lo calculamos de la siguiente manera:

1-α=0.95

α=1-0.95 =0.05

α/2 = 0.025

Y según la tabla estandarizada: Z_0.025 = 1.96 Ahora reemplazamos en la fórmula:

 

Para el valor particular de 501.2 tenemos el siguiente intervalo

Conclusión

                Al establecer que [500.4 , 502.0] es un intervalo al 95% de confianza de la media, estamos diciendo que la probabilidad de que el intervalo contenta a μ es de 0.95. En otras palabras, la probabilidad de que la muestra aleatoria tome valores tales que el intervalo aleatorio defina un intervalo numérico que contenga el parámetro fijo desconocido es de 0.95

  Autora:

Yennifer M. Ramirez S.

C.I: 29.547.270